jueves, 15 de noviembre de 2012

Movimiento circular uniforme y uniformemente acelerado

El movimiento circular uniformemente acelerado, MCUA, es un caso particular de la velocidad y la aceleración angular, es un movimiento circular cuya aceleración α es constante.

Dada la aceleración angular α podemos obtener el incremento de la velocidad angular ω entre los instantes t₀ y t₁. La ecuación resultante de la velocidad es:

ω (t)=ω₀+α₀(t₁-t₀)

siendo α la aceleración, ω₀ la velocidad inicial, y (t₁-t₀) el incremento de tiempo.

Dada la velocidad angular ω en función del tiempo, podemos hallar la posición θ entre los instantes t₀ y t₁. La ecuación resultante es:

Δθ=ω₀·Δt +½a₀·(Δt)²

siendo a₀ la aceleración, ω₀ la velocidad inicial, y (t₁-t₀) el incremento de tiempo.

Apreciese la similitud con las fórmulas del MRUA, movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_circular_uniformemente_acelerado

http://www.matematicasfisicaquimica.com/conceptos-de-fisica-y-quimica/815-movimiento-circular-uniforme-mcua.html

https://www.youtube.com/watch?v=ewXpW37Mgiw

Tiros parabólicos horizontal y oblicuo

Cuando un objeto presenta un movimiento uniforme horizontal y al mismo tiempo presenta un movimiento vertical rectilíneo (suma de movimientos) esto da origen al llamado tiro vertical.

Existen dos tipos de tiro parabólico, está el tiro parabólico horizontal y el tiro parabólico oblicuo, el primero de ellos (tiro parabólico horizontal) es identificado por la forma peculiar en que se comporta el movimiento del cuerpo ya que al lanzar el objeto de forma horizontal al vacio la trayectoria que sigue es de forma curvada, la trayectoria es de esta manera (curva) ya que el cuerpo lanzado es influenciado por dos movimientos, uno de ellos es un movimiento horizontal con una velocidad constante y el otro es de forma vertical.

El tiro parabólico oblicuo se caracteriza porque cuando se lanza un objeto, este forma un ángulo con el eje horizontal, ejemplo, cuando se lanza una bala con un cañón, al llegar la bala al objetivo, esta requiere de cierto ángulo.

En si como se trata de un movimiento de dos dimensiones, el objeto lanzado de esta manera, se moverá en el plano, es decir, se mueve en la direcciones xy (se mueve en dirección al eje x pero simultáneamente se mueve en dirección a eje y). Cuando uno trata con un problema donde se presenta un tiro parabólico horizontal o oblicuo, la persona encargada en darle solución debe tener cuidado en elegir el sistema de coordenadas, ya que, el eje y (la parte positiva) debe de ser vertical y positiva.

La aceleración en el eje y (dirección y) es – g (- 9.80 m/s²) al igual que en la caída libre, mientras que la aceleración en el eje x (dirección x) debe de ser cero debido a que se ignora la resistencia del aire). Cuando el vector de velocidad forma un ángulo con el eje horizontal, a este ángulo se le llama ángulo de proyección (θ₀).

Con las definiciones de seno y el coseno podemos afirmar las siguientes formulas para obtener la velocidad inicial del objeto (velocidad de despegue) en la dirección x y en la dirección y.

Ahora como sabemos que en el tiro vertical sin importar el tipo se presentan dos tipos de movimientos lo más sensato es tratar de separar cada uno de ellos para manejarlos por separado, por suerte se ha comprobado que estos movimientos en si en su naturaleza están separados uno de con el otro, es decir, el movimiento en la dirección x (horizontal) no afecta o influencia en nada al movimiento en la dirección y (vertical).

Comenzaremos por el movimiento en la dirección x, como se menciono anteriormente la aceleración a lo largo de esta dirección será cero (constante), por este motivo el valor inicial del componente de velocidad a lo largo de esta dirección x será contante, es decir, será igual para cada instante de tiempo posterior.

Por lo tanto:

Ahora utilizaremos la ecuación anterior y la sustituimos en la ecuación de la definición de velocidad, eso con el motivo de hallar el desplazamiento del objeto en la dirección x (horizontal) en función del tiempo.

Entonces la formula queda de la siguiente manera:

Con las dos formulas anteriores se nos expresa todo lo necesario de saber sobre el movimiento en la dirección x.

En la dirección y (vertical) como existe una aceleración constante (a =- g), se utilizarán las mismas formulas empleada para el movimiento rectilíneo uniforme acelerado (MRUA), es decir:

Para obtener la rapidez v en cualquier instante se utilizara el teorema de Pitágoras aplicado a los componentes de velocidad, por lo tanto. La formula queda de la siguiente manera:

Y para obtener el ángulo de vector de velocidad con respecto al eje x se utiliza la siguiente fórmula:

Aquí se muestra una imagen del comportamiento del movimiento en un tiro parabólico.

Ejemplo.

Una persona arroja una pelota roja desde el techo de un edificio, la pelota tiene un tiempo en vuelo de 4.22 s, utilizando la información dada en la imagen que a continuación se presenta, determine la rapidez de la pelota justo antes de que llegue al suelo.

Protocolo de solución.

No es necesario hacer ninguna conversión.

Se no dan los siguientes valores:

t = 4.22 s

v₀ = 20.0 m/s

Angulo de proyección = 30 grados.

g = −9.80 m/s²

y se nos pide:

v =?

Primero tendremos que obtener la componente iniciales de velocidad en y e x, usando las siguientes ecuaciones:

Vx0 = (20 m/s)( cos⁡ 30 )= +17.3 m/s

Vy0 = (20 m/s)(sin⁡ 30 )= +10.0 m/s

Ahora que tenemos los componentes iniciales en x e y , podremos calcular los componentes de velocidad de x y de y de la pelota justo antes que caiga al suelo, utilizando las siguientes fórmulas:

Como se presenta en la primera vx es igual que vx0 así que:

Vx = 17.3 m/s

Pero vy es otra historia, tendremos que calcularla de la siguiente manera:

vy=(10.0 m/s)- (9.80 m/s² )(4.22 s)= −31.4 m/s

Nota la gravedad se toma como positiva, ya que la pelota va hacia la dirección en la que la gravedad ejerce.

Para encontrar la rapidez pedida se utiliza la siguiente fórmula:

v = √( (17.3)² + (−31.3)² ) m/s = 35.9 m/s

La rapidez de la pelota justo antes de caer al suelo es de 35.9 m/s.

http://www.prepafacil.com/cobach/Main/TiroParabolicoHorizontalYOblicuo

Movimiento en dos dimensiones

Movimiento dos dimensiones

Cuando pateas un balón, el balón hace un movimiento en dos dimensiones llamado tiro parabólico.

Se le llama en dos dimensiones, porque la posición de la partícula en cada instante, se puede representar por dos coordenadas, respecto a unos ejes de referencia.

El movimiento en 2 dimensiones es cuando la partícula se mueve tanto horizontal como verticalmente (por así decirlo).
El movimiento de una partícula en dos dimensiones es la trayectoria de la partícula en un plano (vertical, horizontal, o en cualquier otra dirección del plano).Las variables a las que está sometida la partícula son dos y por eso se le denomina movimiento en dos dimensiones.

Movimiento de Proyectiles

Un proyectil es un objeto sobre el cual la única fuerza que actúa sobre él es la gravedad. Hay una variedad de ejemplos de proyectiles: un objeto que se lanza desde un precipicio es un proyectil; un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba es también un proyectil; y un objeto es qué lanzado hacia arriba en ángulo también está un proyectil. Todos estos ejemplos se dan con la condición de que la resistencia del aire se considera insignificante.
Un proyectil es cualquier objeto que se proyectara una vez que continúa en el movimiento por su propia inercia y es influenciado solamente por la fuerza hacia abajo de la gravedad.

Los tipos de proyectiles que hay son los siguientes:

Por definición, un proyectil tiene solamente una fuerza que actúa sobre él, esta es la fuerza de gravedad. Si hubiera alguna otra fuerza que actuara sobre un objeto, ese objeto no sería un proyectil.
Así, en el diagrama de cuerpo libre para un proyectil, se mostraría una sola fuerza que actúa hacia abajo y la " fuerza de gravedad " (o simplemente de Fgrav). Esto quiere decir que sin importar si un proyectil se está moviendo hacia abajo, hacia arriba, hacia arriba y hacia la derecha, o hacia abajo y hacia la izquierda, el diagrama del libre-cuerpo del proyectil todavía está según lo representado en el diagrama de abajo. Por definición, un proyectil es cualquier objeto sobre el cual la única fuerza sea gravedad.

Suponiendo que se tienen dos muchachos jugando béisbol, como se muestra en la imagen.

La trayectoria que sigue la pelota (o proyectil) es parabólica, además sale con una velocidad vo . El vector inicial v cambia con el tiempo tanto de magnitud como en dirección. El cambio en el vector es el resultado de la aceleración y negativa. La componente x de la velocidad permanece constante en el tiempo debido a que no hay aceleración a lo largo de la dirección horizontal. Además, la componente y de la velocidad es cero en el punto más alto de la trayectoria.

Se denomina proyectil a cualquier objeto al que se le da una velocidad inicial y a continuación sigue una trayectoria determinada por la fuerza gravitacional que actúa sobre él y por la resistencia de la atmósfera. El camino seguido por un proyectil se denomina trayectoria.

El movimiento parabólico esta descrito en términos de su posición, su velocidad, y su aceleración. Cuando un objeto es lanzado con cierta inclinación respecto a la horizontal y bajo la acción solamente de la fuerza gravitatoria su trayectoria se mantiene en el plano vertical y es parabólica.

Ejemplos:
El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano. Algunos ejemplos de cuerpos cuya trayectoria corresponde a un tiro parabólico son:
•Proyectiles lanzados desde la superficie de la Tierra o desde un avión.
•Una pelota de fútbol al ser despejada por el portero.
•Una pelota de golf al ser lanzada con cierto ángulo respecto al eje horizontal.

http://www.blogster.com/fisica/movimiento-en-dos-dimensiones

https://www.google.com.mx/search?q=movimiento+en+dos+dimensiones&aq=f&sugexp=chrome,mod%3D17&um=1&ie=UTF-8&hl=es&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi&ei=A4ilUICQN8fi2QXIw4Ew&biw=1280&bih=699&sei=94ilUJeeAquI2gXll4HYDg

https://www.youtube.com/watch?v=OPN12Sjnpkk

caída libre y tiro vertical

En estos movimientos el desplazamiento es en una sola dirección que corresponde al eje vertical (eje "Y")

Es un movimiento uniformemente acelerado y la aceleración qu actúa sobre los cuerpos es la de gravedad representada por la letra g.

Sus vaores son.

g=9.81 m/s2 SI. g=981 cm/s2

g=32.16 ft/s2 S. Inglés.

Lo que diferencia a la caida libre del tiro vertical es que el segundo co,prende subida y bajada, mientras que la cida libre unicamente contempla la bajada de los cuerpos.

FÓRMULAS DE CAIDA LIBRE:

Vf= Vo +gt

Vf2= Vo2 +2gh

h= Vo t + g t2 /2

TIPS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CAIDA LIBRE:

1.-Un objeto se deja caer......... Vo=0

2.-Se lanza...................... Vo diferente a 0

PROBLEMA:

*Se deja caer una pelota desde la parte alta de un edificion, si tarda 3s en llegar al piso ¿Cuál es la altura del edificio? ¿Con qué velocidad se impacta contra el piso?

h= ? Vf= vO +gt

t= 3s Vf= 0 + (9.81 m/s2)(3s)

Vf= ? Vf=29.43 m/s

Vo= 0m/s

g=-9.81 m/s2 h=vo*t + 1/2 gt2

h=1/2 (9.81m/s2)(3s)2

h=44.14 m

TIRO VERTICAL

Al igual que caida libre es un movimiento uniformemente acelerado.

Diferencia: Forma ascendente y descendente.

Vo diferente a 0 sube:+ baja: -

Al igual que la caida libre es un movimiento sujeto a la aceleración de la gravedad, sólo que ahora la aceleración se opone al movimiento inicial del objeto. El tiro vertical comprende subida, bajada de los cuerpos u objetos considerando lo siguiente:

a)Nunca la velocidad inicial es igual a 0.

b)Cuando el objeto alcanza su altura máxima, su velocidad en este punto es 0. Mientras que el objeto se encuentra se subida el signo de la V es positivo; la V es 0 a su altura máxima cuando comienza a descender su velocidad será negativa

c)Si el objeto tarda por ejmplo 2s en alcanzar su altura máxima tardará 2s en regresar a la posición original, por lo tanto el tiemop que permaneció en el aire el objeto es de 4s.

d)Para la misma posición del lanzamiento la velocidad de subida es igual a la velocidad de bajada.

Fórmulas:

Vf= Vo-gt

Vf2= Vo2 - 2gh

h= Vo * t - 1/2 at2

PROBLEMAS:

*Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 30 m/s,calcula:

a)Tiempo que tarda en alcanzar su altura max.

b)Altura max.

c) Posición y velocidad de la pelota a los 2s de haberse lanzado

d)V y posición de la pelota a los 5s de haber sido lanzado

e)tiempo que la pelota estuvo en el aire.

Vo= 30m/s t= Vf - Vo / g

t= ? t= 0m/s - 30m/s / 9.81 m/s2

h= ? a) t= 3.058 s

Vf= 0 m/s b)h= Vf2 - Vo2 / -2g

g=-9.81m/s 2 h= 0m/s - 900 m/s / -(2)(9.81 m/s2)

h= 45.87 m

Vf= Vo -gt

Vf= 30m/s - 9.81 m/s2 * 2s

c) Vf= 0.38 m/s h= 40.38m

Vf= 30m,/s - 9.81 m/s2 * 5s

d) Vf= -19.05 m/s h=27.37 m

t= 3.05 s * 2

e) t= 6.10 s

http://shibiz.tripod.com/id11.html

https://www.youtube.com/watch?v=Dpui7aBR6Ro

miércoles, 14 de noviembre de 2012

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Evolución respecto del tiempo de la posición, de la velocidad y de la aceleración de un cuerpo sometido a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, según la mecánica clásica.

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), es aquel en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante.

Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre vertical, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.

También puede definirse el movimiento como el que realiza una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) es un caso particular del movimiento uniformemente acelerado (MUA)

En mecánica clásica el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres características fundamentales:Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en mecánica newtoniana

La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes.
La velocidad varía linealmente respecto del tiempo.
La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.

La figura muestra las relaciones, respecto del tiempo, del desplazamiento (parábola), velocidad (recta con pendiente) y aceleración (constante, recta horizontal) en el caso concreto de la caída libre (con velocidad inicial nula).

El MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante, cuyas relaciones dinámicas y cinemáticas, respectivamente, son:

(1) $a(t) = a = \frac{F}{m} = \frac{d^2x}{dt^2}$

En el movimiento rectilíneo acelerado, la aceleración instantánea es representada como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa gráficamente la función v(t).

La velocidad v para un instante t dado es:

(2a) $v(t)=at+ v_0 \,$

siendo $v_0\,$ la velocidad inicial.

Finalmente la posición x en función del tiempo se expresa por:

(3) $x(t) = \frac {1}{2} a t^2 + v_0t + x_0$

donde $x_0\,$ es la posición inicial.

Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez del móvil. Ésta se obtiene despejando el tiempo de (2a) y sustituyendo el resultado en (3):

(2b) $v^2= 2 a (x - x_0) + v_0^2 \,$

Derivación de las ecuaciones de movimiento Movimiento acelerado en mecánica relativista

Movimiento relativista bajo fuerza constante: aceleración (azul), velocidad (verde) y desplazamiento (rojo).

En mecánica relativista no existe un equivalente exacto del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, ya que la aceleración depende de la velocidad y mantener una aceleración constante requeriría una fuerza progresivamente creciente. Lo más cercano que se tiene es el movimiento de una partícula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las características del MUA de la mecánica clásica.

La ecuación de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante partiendo del reposo es:

(4) $\begin{cases} \cfrac{d}{dt}\left( \cfrac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \right) = \cfrac{F}{m_0} = w\\ v(0) = 0 \end{cases}$

Donde w es una constante que, para valores pequeños de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleración (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleración es mucho más pequeña que el cociente entre la fuerza y la masa). De hecho la aceleración bajo una fuerza constante viene dada en el caso relativista por:

$a(t) = \frac{w}{\left(1+\frac{w^2t^2}{c^2}\right)^\frac{3}{2}}$

La integral de (4) es sencilla y viene dada por:

(5) $\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = wt \qquad \Rightarrow \qquad v(t) = \frac{wt}{\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}}$

E integrando esta última ecuación, suponiendo que inicialmente la partícula ocupaba la posición x = 0, se llega a:

(6) $x(t) = \frac{c^2}{w}\left[\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}} -1 \right]$

En este caso el tiempo propio de la partícula acelerada se puede calcular en función del tiempo coordenado t mediante la expresión:

(7) $\tau = \frac{c}{w}\ln \left[\frac{wt}{c} + \sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}\right]$

Todas estas expresiones pueden generalizarse fácilmente al caso de un movimiento uniformemente acelerado, cuya trayectoria es más complicada que la parábola, tal como sucede en el caso clásico cuando el movimiento se da sobre un plano.

Observadores de Rindler

El tratamiento de los observadores uniformemente acelerados en el espacio-tiempo de Minkowski se realiza habitualmente usando las llamadas coordenadas de Rindler para dicho espacio, un observador acelerado queda representado por un sistema de referencia asociado a unas coordenadas de Rindler. Partiendo de las coordenadas cartesianas la métricade dicho espacio-tiempo:

$ds^2 = -c^2dT^2 + dX^2 + dY^2 + dZ^2, \qquad (T, X, Y, Z)\in\R^4$

Considérese ahora la región conocida como "cuña de Rindler", dada por el conjunto de puntos que verifican:

$\mathcal{R}_{Rind} = \{(T,X,Y,Z)\in\R^4|\ 0 < X < \infty, \; -X < T < X\}$

Y defínase sobre ella un cambio de coordenadas dado por las transformaciones siguientes:

$\begin{cases} t = \cfrac{c}{\alpha}\operatorname{arctanh}\left(\cfrac{cT}{X}\right), \; x=\cfrac{c^2}{\alpha} \ln \left(\cfrac{\alpha}{c^2}\sqrt{X^2-c^2T^2} \right)\; y = Y, \; z = Z\\ T = \cfrac{c}{\alpha}\ e^{\alpha x/c^2} \sinh \left(\cfrac{\alpha t}{c}\right), \; X = \cfrac{c^2}{\alpha}\ e^{\alpha x/c^2} \cosh \left(\cfrac{\alpha t}{c}\right), \; Y = y, \; Z = z \end{cases}$

Donde:

$\alpha\,$ , es un parámetro relacionado con la aceleración del observador.¹

$(t,x,y,z)\,$ , son las coordenadas temporal y espaciales medidas por dicho observador.

Usando estas coordenadas, la cuña de Rindler del espacio de Minkowski tiene una métrica, expresada en las nuevas coordenadas, dada por la expresión:

$ds^2 = e^\frac{2\alpha x}{c^2}(-dt^2+dx^2)+dy^2+dz^2, \qquad (t, x, y, z) \in \times\R^4$

Puede que estas coordenadas representen a un observador acelerado según el eje X, cuya cuadriaceleración obtenida como derivada covariante de la cuadrivelocidad está relacionada con el valor de la coordenada x:

$\nabla_{\mathbf{e}_0} \mathbf{e}_0 = \alpha e^{-\frac{\alpha x}{c^2}}\ \mathbf{e}_1, \qquad \mathbf{a} = (a^0; a^1, a^2, a^3) = \left(0; \alpha e^{-\frac{\alpha x}{c^2}}, 0, 0\right)$

[editar]Horizonte de Rindler

Es interesante notar que un observador uniformemente acelerado tiene horizonte de eventos, es decir existe una superficie espacial (que coincide con la frontera de la cuña de Rindler):

$H^-_{Rind} = \{(T, X, Y, Z)|X^2-c^2T^2 = 0\} = \{(t,x,y,z)| x = -\infty \}$

tal que la luz del otro lado jamás alcanzaría al observador acelerado. Este horizonte de sucesos es del mismo tipo que el horizonte de sucesos que ve un obsevador situado fuera de un agujero negro. Es decir, los eventos al otro lado del horizonte de eventos no pueden ser vistos por estos observadores.

El ejemplo de las coordenadas de Rindler muestra que la ocurrencia de un horizonte de eventos no está asociada al propio espacio-tiempo sino a ciertos observadores. Las coordenadas de Rindler constituyen una cartografía del espacio-tiempo plano de Minkowski. En dicho espacio un observador inercial no ve ningún horizonte de eventos pero sí lo ve un observador acelerado.

Movimiento acelerado en mecánica cuántica

Artículo principal: Efecto Unruh.

En 1975, Stephen Hawking conjeturó que cerca del horizonte de eventos de un agujero negro debía aparecer una producción de partículas cuyo espectro de energías correspondería con la de un cuerpo negro cuya temperatura fuera inversamente proporcional a la masa del agujero. En un análisis de observadores acelerados, Paul Davies probó que el mismo argumento de Hawking era aplicable a estos observadores (observadores de Rindler).²

En 1976, Bill Unruh basándose en los trabajos de Hawking y Davies, predijo que un observador uniformemente acelerado observaría radiación de tipo Hawking donde un observadorinercial no observaría nada. En otras palabras el efecto Unruh afirma que el vacío es percibido como más caliente por un observador acelerado.³ La temperatura efectiva observada es proporcional a la aceleración y viene dada por:

$kT = \frac{\hbar a}{2\pi c}$

Donde:

$k\,$ , constante de Boltzmann.

$\hbar$ , constante de Planck racionalizada.

$c\,$ , velocidad de la luz.

$T\,$ , temperatura absoluta del vacío, medida por el observador acelerado.

$a\,$ , aceleración del observador uniformemente acelerado.

De hecho el estado cuántico que percibe el observador acelerado es un estado de equilibrio térmico diferente del que percibe un observador inercial. Ese hecho hace de la aceleración una propiedad absoluta: un observador acelerado moviéndose en el espacio abierto puede medir su aceleración midiendo la temperatura del fondo térmico que le rodea. Esto es similar al caso relativista clásico, en donde un observador acelerado que observa una carga eléctrica en reposo respecto a él puede medir la radiación emitida por esta carga y calcular su propia aceleración absoluta.